Определитель равен нулю при линейной зависимости строк — доказательство

Определитель – это важное понятие линейной алгебры, которое широко используется при решении систем линейных уравнений и многих других задач. Определитель матрицы равен нулю, если строки этой матрицы линейно зависимы, то есть одна строка может быть выражена через линейную комбинацию других строк. Доказательство этого утверждения основано на знаниях о свойствах определителя и элементарных преобразованиях строк матрицы.

Для начала, рассмотрим определитель матрицы порядка 2. Пусть дана матрица A:

A = | a11 a12 |

| a21 a22 |

Если строки матрицы линейно зависимы, то существуют такие числа k1 и k2, что:

k1 * (a11, a12) + k2 * (a21, a22) = (0, 0)

Здесь (a11, a12) и (a21, a22) – строки матрицы A. Умножение строки на число и сложение строк – элементарные преобразования строк матрицы. Применим элементарные преобразования к матрице:

| a11 a12 |

| |

— k2| a21 a22 |

Для того чтобы строки матрицы линейно зависимы, определитель полученной матрицы должен быть равен нулю. Вычислим определитель:

det(A) = a11*a22 — a12*a21 — k2*(a11*0 — a21*a12) = 0

Таким образом, определитель матрицы A равен нулю, что и требовалось доказать. Аналогичные рассуждения могут быть применены для матрицы порядка n.

Понятие определителя и его равенство нулю

Одним из ключевых свойств определителя является его равенство нулю. Если определитель матрицы равен нулю, это означает, что строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы.

Линейная зависимость строк матрицы означает, что одна строка может быть выражена через линейную комбинацию других строк. Если определитель равен нулю, это говорит о том, что система линейных уравнений, составленных из строк матрицы, имеет бесконечное множество решений или несовместна.

Таким образом, проверка равенства нулю определителя является важным шагом при анализе линейной зависимости строк матрицы и решении систем линейных уравнений.

Основные определения и свойства

Для понимания доказательства равенства определителя нулю при линейной зависимости строк необходимо осознать несколько ключевых определений и свойств. Рассмотрим их по порядку.

Определитель матрицы – это число, которое связано с данным массивом чисел и обладает рядом важных свойств. Определитель определен только для квадратных матриц, то есть матриц, у которых число строк совпадает с числом столбцов.

Коэффициенты матрицы – это числа, расположенные в каждой ячейке матрицы. Коэффициенты могут быть действительными числами или переменными.

В качестве примера рассмотрим квадратную матрицу размером n x n:

Линейная зависимость строк матрицы означает, что строки данной матрицы линейно выражаются через друг друга. Если существует хотя бы одна ненулевая комбинация строк, равная нулю, то строки матрицы линейно зависимы.

Также для доказательства равенства определителя нулю при линейной зависимости строк необходимо использовать свойство детерминанта, гласящее, что если две строки матрицы линейно зависимы, то определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство равенства определителя нулю

Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки линейно зависимы. Докажем это утверждение.

Пусть дана квадратная матрица:

где a₁₁, a₁₂, …, a_1n — элементы первой строки матрицы.

Используя свойство множителей, определитель матрицы можно выразить следующим образом:

Если строки матрицы линейно зависимы, то существуют такие числа c₁, c₂, …, c_n, не все равные нулю, что выполняется следующее равенство:

c₁a₁₁ + c₂a₁₂ + … + c_na_1n = 0

Тогда детерминант матрицы может быть представлен как:

Таким образом, если строки матрицы линейно зависимы, то определитель равен нулю.

Обратно, если строки матрицы линейно независимы, то c₁, c₂, …, c_n должны быть равны нулю, чтобы выполнялось равенство:

c₁a₁₁ + c₂a₁₂ + … + c_na_1a = 0

Таким образом, если определитель матрицы равен нулю, то строки матрицы линейно зависимы.

Таким образом, определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки линейно зависимы.